Binomial Option Pricing Up Factor

Modèle binomial de tarification d'options Le modèle binomial de tarification d'options est une méthode d'évaluation des options développée en 1979. Le modèle binomial de tarification d'options utilise une procédure itérative permettant de spécifier des noeuds ou des points dans le temps pendant le temps Entre la date d'évaluation et la date d'expiration des options. Le modèle réduit les possibilités de changement de prix et supprime la possibilité d'arbitrage. Un exemple simplifié d'un arbre binomial pourrait ressembler à ceci: BREAKING DOWN Modèle de tarification d'option binomiale Le modèle de prix d'option binomial suppose un marché parfaitement efficace. Dans cette hypothèse, il est en mesure de fournir une évaluation mathématique d'une option à chaque point dans le délai spécifié. Le modèle binomial adopte une approche de l'évaluation neutre en termes de risque et suppose que les cours sous-jacents des titres ne peuvent qu'accroître ou diminuer avec le temps jusqu'à ce que l'option expire sans valeur. Exemple de tarification binomiale Un exemple simplifié d'un arbre binomial n'a qu'un seul pas de temps. Supposons qu'il ya un stock qui est au prix de 100 par action. Dans un mois, le prix de ce stock va augmenter de 10 ou baisser de 10, ce qui crée cette situation: Prix de Stock 100 Prix de Stock (état à la hausse) 110 Prix de Stock (bas état) 90 Ensuite, supposons qu'il existe une option d'appel disponible Sur ce stock qui expire dans un mois et a un prix d'exercice de 100. Dans l'état ascendant, cette option d'appel vaut 10, et à l'état bas, il vaut 0. Le modèle binomial peut calculer ce que le prix de l'appel Option devrait être aujourd'hui. À des fins de simplification, supposons qu'un investisseur achète une moitié de l'action et écrit, ou vend, une option d'achat. L'investissement total aujourd'hui est le prix de la moitié d'une action moins le prix de l'option et les gains possibles à la fin du mois sont: Coût aujourd'hui 50 - prix de l'option Valeur du portefeuille (état en hausse) 55 - max (110 - 100, 0) 45 Valeur du portefeuille (état bas) 45 - max (90 - 100, 0) 45 Le rendement du portefeuille est égal quel que soit le mouvement du cours de l'action. Compte tenu de ce résultat, en supposant qu'il n'y ait aucune possibilité d'arbitrage, un investisseur devrait obtenir le taux sans risque au cours du mois. Le coût aujourd'hui doit être égal à la rémunération actualisée au taux sans risque pendant un mois. L'équation à résoudre est donc: Prix d'option 50 - 45 xe (taux sans risque x T), où e est la constante mathématique 2.7183 En supposant que le taux sans risque est de 3 par an et T égal à 0.0833 (un divisé par 12 ), Alors le prix de l'option d'achat est aujourd'hui de 5,11. En raison de sa structure simple et itérative, le modèle binomial d'évaluation des options présente certains avantages uniques. Par exemple, puisqu'il fournit un flux d'évaluations pour un dérivé pour chaque nœud dans un laps de temps, il est utile pour évaluer des dérivés tels que des options américaines. Il est également beaucoup plus simple que d'autres modèles de tarification tels que le modèle Black-Scholes. Tutoriel de tarification optionnelle et tableurs Ce tutoriel présente le choix des options binomiales et offre une feuille de calcul Excel pour vous aider à mieux comprendre les principes. En outre, une feuille de calcul qui les prix Vanille et exotiques options avec un arbre binomial est fourni. Faites défiler la page vers le bas de cet article pour télécharger les tableurs, mais lisez le didacticiel si vous voulez vous appuyer sur les principes qui sous-tendent le choix des options binomiales. Binomial option de prix est basé sur une hypothèse sans arbitrage, et est une méthode mathématiquement simple, mais étonnamment puissant pour les options de prix. Plutôt que de compter sur la solution aux équations différentielles stochastiques (ce qui est souvent complexe à mettre en œuvre), la tarification des options binomiales est relativement simple à mettre en œuvre dans Excel et est facilement compréhensible. L'absence d'arbitrage signifie que les marchés sont efficaces et que les placements gagnent le taux de rendement sans risque. Les arbres binomiaux sont souvent utilisés pour évaluer les options de vente américaines. Pour lesquels (contrairement aux options de vente européennes) il n'existe pas de solution analytique étroite. Arbre de prix de l'actif sous-jacent Considérez un stock (avec un prix initial de S 0) subissant une marche aléatoire. Sur une période de temps t, le stock a une probabilité p de monter d'un facteur u, et une probabilité 1-p de chute de prix d'un facteur d. Ceci est illustré par le diagramme suivant. Cox, Ross et Rubenstein Le modèle Cox, Ross et Rubenstein (CRR) a suggéré une méthode pour calculer p, u et d. D'autres méthodes existent (comme les modèles Jarrow-Rudd ou Tian), mais l'approche CRR est la plus populaire. Sur une petite période de temps, le modèle binomial agit de manière similaire à un atout qui existe dans un monde neutre au risque. Il en résulte l'équation suivante, qui implique que le retour effectif du modèle binomial (à droite) est égal au taux sans risque. En outre, la variance d'un actif neutre en termes de risque et d'un actif dans un rapport neutre au risque Monde. Ceci donne l'équation suivante. Le modèle CRR suggère la relation suivante entre les facteurs à la hausse et à la baisse. En réarrangant ces équations, on obtient les équations suivantes pour p, u et d. Les valeurs de p, u et d données par le modèle CRR signifient que le prix de l'actif initial sous-jacent est symétrique pour un modèle binomial à plusieurs étapes. Modèle binomial en deux étapes Il s'agit d'un réseau binomial en deux étapes. À chaque étape, le cours des actions augmente d'un facteur u ou d'un facteur d. Notez qu'à la deuxième étape, il ya deux prix possibles, u d S 0 et d u S 0. Si ceux-ci sont égaux, on dit que le treillis se recombine. S'ils ne sont pas égaux, on dit que le treillis est non recombiné. Le modèle CRR assure un réseau de recombinaison l'hypothèse que u 1d signifie que u d S 0 d u S 0 S 0. Et que le réseau est symétrique. Modèle binomial multi-étapes Le modèle binomial multi-étapes est une simple extension des principes donnés dans le modèle binomial en deux étapes. Nous avançons simplement dans le temps, augmentant ou diminuant le prix des actions d'un facteur u ou d à chaque fois. Chaque point du réseau est appelé noeud, et définit un prix d'actif à chaque point dans le temps. En réalité, beaucoup plus d'étapes sont généralement calculées que les trois illustrées ci-dessus, souvent des milliers. Paiements pour le prix des options Nous considérerons les fonctions de paiement suivantes. V N est le prix de l'option au noeud d'expiration N, X est le prix de grève ou d'exercice, S N est le cours de l'action au noeud d'expiration N. Nous devons maintenant actualiser les paiements jusqu'à aujourd'hui. Cela implique de reculer dans le treillis, en calculant le prix de l'option à chaque point. Cela se fait avec une équation qui varie en fonction du type d'option envisagé. Par exemple, les options européennes et américaines sont tarifées avec les équations ci-dessous. N est tout noeud avant expiration. Binomial Option Prix dans Excel Cette feuille de calcul Excel met en œuvre un réseau binomial de tarification pour calculer le prix d'une option. Entrez simplement certains paramètres comme indiqué ci-dessous. Excel générera alors le réseau binomial pour vous. La feuille de calcul est annotée pour améliorer votre compréhension. Notez que le cours de l'action est calculé en avant dans le temps. Cependant, le prix de l'option est calculé à partir du moment de l'expiration jusqu'à aujourd'hui (c'est ce qu'on appelle l'induction vers l'arrière). La feuille de calcul compare également le prix Put et Call donné par le réseau binomial d'évaluation des prix avec celui donné par la solution analytique de l'équation de Black-Scholes pour de nombreuses étapes de temps dans le réseau, les deux prix convergent. Si vous avez des questions ou des commentaires au sujet de ce binomial option pricing tutoriel ou la feuille de calcul, alors s'il vous plaît faites le moi savoir. Tarification Vanille et options exotiques avec Binomial Tree dans Excel Cette table Excel table sur plusieurs types d'options (européen, américain, Shout, Chooser, Compound) avec un arbre binomial. La feuille de calcul calcule également les Grecs (Delta, Gamma et Theta). Le nombre d'étapes de temps est facilement varié. La convergence est rapide. Les algorithmes sont écrits dans VBA protégé par mot de passe. Si vous souhaitez voir et modifier le VBA, achetez le tableur non protégé sur investexcelbuy-spreadsheets. Bonjour, je me demandais si vous avez des feuilles de calcul qui calculent le prix d'une option en utilisant le modèle binomial d'évaluation des options (CRR) (y compris le rendement des dividendes) .. puis une comparaison avec le noir Scholes prix (pour les mêmes variables) pourrait être montré sur un graphique (montrant la convergence) I8217ve piraté ensemble cette feuille de travail. Il compare les prix des options européennes offertes par les équations analytiques et un arbre binomial. Vous pouvez changer le nombre d'étapes binomiales pour comparer la convergence avec la solution analytique. Salut, le modèle fonctionne parfaitement lorsque le prix de l'exercice est proche du cours de l'action et / ou Le temps de maturité est proche du nombre d'étapes. I8217m novice dans les modèles Binomial et ont expérimenté en changeant le prix d'exercice et / ou le nombre d'étapes substantiellement. Si j'ai un lointain de prix de grève d'argent. La valeur du modèle Binomial approche Zéro tandis que la valeur BampS est plus 8220resistant8221. Si je diminue le nombre d'étapes à 1, la valeur des modèles Binomial augmente de façon spectaculaire tandis que la valeur BampS reste la même. Y at-il quelque chose que vous pouvez dire sur les limitations concernant le modèle binomial. Quand utiliser et ne pas utiliser. John Slice dit: Avez-vous des feuilles de calcul d'un arbre binomial avec un stock qui paie des dividendes trimestriels, je peux sembler savoir comment gérer cela. Il ya plusieurs façons d'aller à ce sujet. La meilleure façon est d'utiliser un modèle de dividende discret et d'entrer la date réelle de paiement du dividende. Je n'ai pas vu un modèle approprié dans investexcel encore. À la place de cela, il suffit de déterminer la valeur totale en dollars de tous les dividendes trimestriels versés entre Time0 et l'expiration. Prendre ce nombre, diviser par le prix actuel des actions pour obtenir un rendement dividende. Utilisez ce rendement dans les modèles fournis par Samir. L'inexactitude majeure viendra d'un mispricing de la prime américaine comme un dividende important payé demain vs le même dividende payé un jour avant l'expiration auront des effets différents sur la prime américaine. Je l'ai compris maintenant. J'ai juste dû ajouter d'autres étapes au modèle. Ça marche bien maintenant. Merci pour un modèle explicatif et relativement simple. Salut, Pouvez-vous me point point d'information sur la façon de calculer les Grecs de ces options en utilisant le modèle binomial Je sais comment le faire pour Black-Scholes, mais pas pour les options américaines. Merci pour toute aide que vous pouvez me donner, et un excellent travail sur votre feuille de calcul. Tout d'abord, je tiens à vous remercier pour l'affichage de cette, en particulier la feuille de calcul Excel qui montre l'arbre de prix binomial avec des illustrations guides. Extrêmement utile. Deuxièmement, j'ai joué avec ce fichier, et je crois avoir découvert un petit buste dans la feuille de calcul. Tout en essayant de comprendre comment l'équation de prix d'option de vente fonctionne dans la cellule E9, j'ai remarqué que la formule renvoie B12 (nSteps), mais je suis sûr qu'il est censé référencer B11 (TimeToMaturity) à la place. Il me semble que la logique de cette formule est que le prix de l'option de vente est déterminé par le prix de l'achat de l'appel et la vente du stock sous-jacent (création d'un put synthétique, mise de côté des dividendes à cet effet) Cette valeur en actualisant la future grève de la put par r pour t périodes, que je semble vaguement se rappeler est l'ajustement pour le taux de rendement imputé sur l'excédent de trésorerie de la vente d'actions. Dans tous les cas, les étapes en principe ne devraient pas entrer en jeu ici. D, j'ai vu la même chose sur la mise de prix ainsi. Je pense qu'il essayait d'utiliser put-call parity1, mais comme vous le note8217s en utilisant la mauvaise variable. Formule devrait être: E8StrikePriceEXP (-RiskFreeRateTimeToMaturity) - SpotPrice Aussi, je pense qu'il ya une erreur dans la 8220up probabilité 8221 cell ainsi. Vous devez soustraire le rendement de dividende du taux d'intérêt, donc la formule devrait être: (EXP ((B9-B13) B16) - B18) (B17-B18) Merci pour la feuille de calcul J'ai apprécié votre gabarit binomial treillis excel. J'utilise le modèle pour prévoir les prix de l'or pour une durée de vie de 20 ans. Comment puis-je dériver juste la prévision de prix, au lieu d'actualisation comme souvent fait. Dans l'attente de votre aide et je vais vous reconnaître dans mon article de thèse Hey Samir, puis-je seulement faire 5 étapes avec le modèle Serait-il possible d'ajouter d'autres étapes Merci et meilleures salutations Peet PS Est la formule déjà ajustée comme proposé par D et Ben West comme la base de connaissances Free Spreadsheets Base de connaissances PostsExamples pour comprendre le modèle d'évaluation des options Binomial Il est assez difficile de s'entendre sur le prix précis de tout actif négociable, même aujourd'hui. C'est pourquoi les cours des actions en constante évolution. En réalité, la société ne change guère son évaluation au jour le jour, mais le cours de l'action et sa valorisation changent à chaque seconde. Cela montre le difficile à parvenir à un consensus sur le prix actuel pour tout actif négociable, ce qui conduit à des possibilités d'arbitrage. Toutefois, ces possibilités d'arbitrage sont très courtes. Tout cela se résume à l'évaluation actuelle de ce qui est le bon prix actuel aujourd'hui pour une rentabilité future prévue Dans un marché concurrentiel, pour éviter les opportunités d'arbitrage, les actifs avec des structures de paiement identiques doivent avoir le même prix. L'évaluation des options a été une tâche difficile et de fortes variations dans les prix sont observées menant à des possibilités d'arbitrage. Black-Scholes reste l'un des modèles les plus populaires utilisés pour les options de prix. Mais a ses propres limites. (Pour plus d'informations, voir: Options de tarification). Binomial modèle d'évaluation des options est une autre méthode populaire utilisée pour les options de prix. Cet article décrit quelques exemples détaillés étape par étape et explique le concept neutre sous-jacent en appliquant ce modèle. (Pour des lectures connexes, voir: Décomposer le modèle binomial pour évaluer une option). Cet article suppose la familiarité de l'utilisateur avec des options et des concepts et des termes connexes. Supposons qu'il existe une option d'achat sur un stock particulier dont le cours actuel est de 100. L'option ATM a un prix d'exercice de 100 avec le temps d'expiration d'un an. Il ya deux commerçants, Peter et Paul, qui tous les deux conviennent que le cours des actions sera soit augmenter à 110 ou chute à 90 dans un an. Ils sont tous les deux d'accord sur les niveaux de prix attendus dans un laps de temps donné d'un an, mais en désaccord sur la probabilité du mouvement vers le haut (et vers le bas déplacer). Peter croit que la probabilité de cours des actions allant à 110 est de 60, alors que Paul estime qu'il est de 40. Sur la base de ce qui précède, qui serait prêt à payer plus de prix pour l'option d'achat Peut-être Peter, comme il s'attend à haute probabilité du mouvement vers le haut. Voyons les calculs pour vérifier et comprendre cela. Les deux actifs dont dépend l'évaluation sont l'option d'achat et l'action sous-jacente. Il existe un accord entre les participants selon lequel le cours des actions sous-jacentes peut passer de 100 à 110 ou 90 en un an et il n'y a pas d'autres mouvements de prix possibles. Dans un monde sans arbitrage, si nous devons créer un portefeuille composé de ces deux actifs (call option et stock sous-jacent) de sorte que, quel que soit le prix sous-jacent (110 ou 90), le rendement net du portefeuille reste toujours le même . Supposons que nous achetons des actions d sous-jacentes et une option d'achat à court terme pour créer ce portefeuille. Si le prix passe à 110, nos actions seront valant 110d et bien perdre 10 sur le paiement des appels courts. La valeur nette de notre portefeuille sera de (110d 10). Si le prix descend à 90, nos actions valent 90d, et l'option expirera sans valeur. La valeur nette de notre portefeuille sera de (90d). Si nous voulons que la valeur de notre portefeuille reste la même, indépendamment de l'endroit où le cours des actions sous-jacent va, notre valeur de portefeuille devrait rester la même dans les deux cas, à savoir: gt (110d 10) 90d ie si nous achetons une demi-part En supposant que les achats fractionnés sont possibles), nous parviendrons à créer un portefeuille de sorte que sa valeur reste identique dans les deux états possibles dans le délai donné d'un an. (Point 1) Cette valeur de portefeuille, indiquée par (90d) ou (110d -10) 45, est d'un an en bas de la ligne. Pour calculer sa valeur actuelle. Il peut être actualisé par un taux de rendement sans risque (en supposant 5). Valeur actuelle du portefeuille Étant donné qu'à l'heure actuelle, le portefeuille comprend la part de l'action sous-jacente (à prix de marché 100) et 1 appel à découvert, elle doit être égale à la valeur actuelle calculée ci-dessus C.-à-d. Gt 12100 1 prix d'achat 42,85 gt Prix d'appel 7,14 soit le prix d'appel à partir d'aujourd'hui. Étant donné que cela repose sur l'hypothèse ci-dessus selon laquelle la valeur du portefeuille reste la même quelle que soit la manière dont le prix sous-jacent va (point 1 ci-dessus), la probabilité de déplacement vers le haut ou vers le bas ne joue aucun rôle ici. Le portefeuille reste sans risque, indépendamment des mouvements de prix sous-jacents. Dans les deux cas (supposés être en hausse passer à 110 et passer à 90), notre portefeuille est neutre au risque et gagne le taux de rendement sans risque. Par conséquent, les commerçants, Peter et Paul, seront disposés à payer les mêmes 7.14 pour cette option d'achat, indépendamment de leurs propres perceptions différentes des probabilités de mouvements ascendants (60 et 40). Leurs probabilités perçues individuellement ne jouent aucun rôle dans l'évaluation des options, comme on peut le voir dans l'exemple ci-dessus. Si on suppose que les probabilités individuelles sont importantes, alors il y aurait eu des occasions d'arbitrage. Dans le monde réel, de telles possibilités d'arbitrage existent avec des écarts de prix mineurs et disparaissent à court terme. Mais où est la volatilité beaucoup hyped dans tous ces calculs, qui est un facteur important (et plus sensible) affectant l'option de prix La volatilité est déjà inclus par la nature de la définition du problème. Rappelez-vous que nous supposons deux (et seulement deux - et donc le nom binomial) états de niveaux de prix (110 et 90). La volatilité est implicite dans cette hypothèse et donc automatiquement incluse 10 dans l'autre sens (dans cet exemple). Maintenant, nous allons faire un contrôle de santé pour voir si notre approche est correcte et cohérente avec le prix Black-Scholes couramment utilisé. (Voir: Le modèle d'évaluation des options Black-Scholes). Voici les captures d'écran des résultats des calculatrices d'options (avec la permission de l'OIC), qui correspond étroitement à notre valeur calculée. Malheureusement, le monde réel n'est pas aussi simple que seulement deux états. Il ya plusieurs niveaux de prix qui peuvent être atteints par le stock jusqu'à ce que le temps d'expiration. Est-il possible d'inclure tous ces niveaux multiples dans notre modèle de prix binomial qui est restreint à seulement deux niveaux Oui, il est très possible, et pour le comprendre, laisse entrer dans quelques mathématiques simples. Quelques étapes intermédiaires de calcul sont omises pour la garder résumée et focalisée sur les résultats. Pour aller plus loin, permet de généraliser ce problème et la solution: X est le prix du marché actuel de stock et Xu et Xd sont les prix futurs pour les mouvements ascendants et descendants t ans plus tard. Le facteur u sera supérieur à 1 car il indique un déplacement vers le haut et d se situera entre 0 et 1. Pour l'exemple ci-dessus, u1.1 et d0.9. Les paiements d'options d'achat sont P up et P dn pour les mouvements ascendant et descendant, au moment de l'expiration. Si nous construisons un portefeuille d'actions s achetées aujourd'hui et une option d'achat à court terme, puis après le temps t: Valeur du portefeuille en cas de mouvement ascendant sXu P up Valeur du portefeuille en cas de baisse du mouvement sXd P dn Pour une évaluation similaire dans les deux cas Le mouvement du prix, gt s (P up - P dn) (X (ud)) le n. D'actions à acheter pour un portefeuille sans risque La valeur future du portefeuille à la fin de t années sera La valeur actuelle de ci-dessus peut être obtenue en l'actualisant avec un taux de rendement sans risque: Cela devrait correspondre à la détention du portefeuille d'actions s au X et la valeur d'appel à court terme c, c'est-à-dire que la détention actuelle de (s X - c) devrait être égale à ci-dessus. Résoudre pour c donne finalement c comme: SI NOUS COURT LA PRIME D'APPEL DEVRAIT ÊTRE ADDITIONNÉE AU PORTEFEUILLE PAS DE SUBTRACTION. Une autre façon d'écrire l'équation ci-dessus est en la réarrangant comme suit: alors l'équation ci-dessus devient Réorganiser l'équation en termes de q a offert une nouvelle perspective. Q peut maintenant être interprété comme la probabilité du mouvement ascendant du sous-jacent (comme q est associé à P et 1-q est associé à P dn). Dans l'ensemble, l'équation ci-dessus représente le prix d'option actuel, c'est-à-dire la valeur actualisée de son rendement à l'échéance. Comment cette probabilité q est-elle différente de la probabilité d'un mouvement ascendant ou descendant du sous-jacent La valeur du cours de l'action au temps tq Xu (1-q) Xd En remplaçant la valeur de q et en réarrangant, Dans ce monde supposé de deux États, le prix du stock augmente simplement par un taux de rendement sans risque, c'est-à-dire exactement comme un actif sans risque et donc il reste indépendant de tout risque. Tous les investisseurs sont indifférents au risque selon ce modèle, ce qui constitue le modèle neutre en termes de risques. La probabilité q et (1-q) sont connues sous le nom de probabilités de risque neutre et la méthode d'évaluation est connue sous le nom de modèle d'évaluation neutre en termes de risque. L'exemple ci-dessus a une exigence importante: la structure de récompense future est requise avec précision (niveau 110 et 90). Dans la vie réelle, une telle clarté sur les niveaux de prix basés sur les étapes n'est pas possible, plutôt que le prix se déplace aléatoirement et peut s'installer à plusieurs niveaux. Avançons l'exemple. Supposons que les niveaux de prix à deux niveaux sont possibles. Nous connaissons les résultats finaux de la deuxième étape et nous devons évaluer l'option aujourd'hui (c'est-à-dire à l'étape initiale). En travaillant vers l'arrière, l'évaluation intermédiaire de la première étape (à t1) peut être effectuée en utilisant les paiements finaux à la deuxième étape (t2) Calculé l'évaluation de la première étape (t1), l'évaluation actuelle (t0) peut être atteinte en utilisant les calculs ci-dessus. Pour obtenir le prix des options au n. 2, les gains à 4 et 5 sont utilisés. Pour obtenir des prix pour no. 3, les gains à 5 et 6 sont utilisés. Enfin, les paiements calculés à 2 et 3 sont utilisés pour obtenir des prix au n °. 1. Veuillez noter que notre exemple suppose le même facteur pour le déplacement vers le haut (et vers le bas) aux deux étapes - u (et d) sont appliqués de façon combinée. Voici un exemple de travail avec des calculs: Supposons une option de vente avec le prix d'exercice 110 en cours de négociation à 100 et expirant dans un an. Le taux annuel sans risque est de 5. Le prix devrait augmenter 20 et diminuer de 15 tous les six mois. Lets structure le problème: Ici, u1.2 et d 0.85, X100, t 0.5 valeur de l'option de vente au point 2, à la condition P upup, le sous-jacent sera 1001.21.2 144 menant à P upup zéro Être 1001.20.85 102 conduisant à P updn 8 A la condition P dndn, le sous-jacent sera 1000.850.85 72.25 conduisant à P dndn 37.75 p 2 0.975309912 (0.358028320 (1-0.35802832) 8) 5.008970741 De même, p 3 0.975309912 (0.358028328 (1- 0.35802832) 37.75) 26.42958924 Et donc la valeur de l'option de vente, p 1 0.975309912 (0.358028325.008970741 (1-0.35802832) 26.42958924) 18.29. De même, les modèles binomiaux permettent de briser la durée entière de l'option pour affiner encore plusieurs niveaux. À l'aide de programmes informatiques ou de feuilles de calcul, on peut travailler à rebours une étape à la fois, pour obtenir la valeur actuelle de l'option souhaitée. Prenons un exemple de trois étapes pour l'évaluation des options binomiales: Supposons une option de vente de type européen, ayant 9 mois à expiration avec un prix d'exercice de 12 et le prix sous-jacent courant à 10. Supposons un taux sans risque de 5 pour toutes les périodes. Supposons que tous les 3 mois, le prix sous-jacent peut se déplacer 20 vers le haut ou vers le bas, ce qui nous donne u1.2, d0.8, t0.25 et 3 binôme arbre. Les chiffres en rouge indiquent les prix sous-jacents, tandis que ceux en bleu indiquent le rendement de l'option de vente. Probabilité de risque neutre q calcule à 0,531446. En utilisant la valeur ci-dessus de q et les valeurs de paiement à t9 mois, les valeurs correspondantes à t6 mois sont calculées comme suit: En outre, en utilisant ces valeurs calculées à t6, les valeurs à t3 puis à t0 sont: 2.18, qui est assez proche de celle calculée à l'aide du modèle de Black-Scholes (2.3) Bien que l'utilisation de programmes informatiques puisse rendre beaucoup de ces calculs intensifs faciles, la prédiction des prix futurs reste une limitation majeure des modèles binomiaux pour le prix des options. Plus les intervalles de temps sont fins, plus il est difficile de prévoir précisément les gains à la fin de chaque période. Cependant, la flexibilité d'incorporer des changements comme prévu à différentes périodes de temps est un plus ajouté, ce qui le rend approprié pour le prix des options américaines. Y compris les évaluations préalables. Les valeurs calculées à l'aide du modèle binomial correspondent étroitement à celles calculées à partir d'autres modèles couramment utilisés comme le Black-Scholes, ce qui indique l'utilité et la précision des modèles binomiaux pour le prix des options. Les modèles binomiaux de tarification reposent sur l'hypothèse que la valeur de l'actif sous-jacent suit une évolution telle que, dans chaque période, Augmente d'une proportion fixe (le facteur d'augmentation) ou diminue par une autre (le facteur d'abaissement). À l'aide d'un arbre binomial, on peut projeter toutes les valeurs possibles de l'actif sous-jacent à la date d'expiration des options, et à partir de celles-ci, toutes les valeurs finales possibles de l'option. Pour trouver la valeur actuelle de l'option, il faut travailler en arrière à travers l'arbre en commençant par les valeurs connues d'option finale. La clé est de reconnaître qu'il est toujours possible de créer un portefeuille composé d'une position dans l'actif sous-jacent combiné à une position sur le marché de prêt qui aura la même valeur période prochaine que l'option. Les hypothèses restreintes concernant les variations de la valeur de l'actif sous-jacent impliquent qu'il y a suffisamment d'information pour déterminer les pondérations du portefeuille et donc la valeur du portefeuille répliqué. Dans le cadre de l'hypothèse de non-arbitrage, le portefeuille de réplication doit avoir la même valeur que l'option. Les poids des deux composantes du portefeuille de réplication sont déterminés en résolvant deux équations dans deux inconnues. Prenez n'importe quel nœud dans l'arbre de valeurs d'option une période avant expiration. A partir de ce noeud, il ya deux branches: l'une représentant la valeur finale de l'option si le sous-jacent remonte dans le prix dans la période finale (appeler) et l'autre, la valeur finale de l'option si le sous - La dernière période (appeler). Soit représenter l'investissement dans l'actif sous-jacent dans le portefeuille de réplication et représenter le nombre de parts de monnaie qui sont empruntées ou prêtées au taux d'intérêt d'une période,. Enfin, soit le prix du sous-jacent à notre noeud choisi, que l'on peut déduire de l'arbre binomial pour le prix du sous-jacent. Étant donné que la valeur du portefeuille de réplication dans la période finale doit être égale à la valeur de l'option dans la période finale, les deux équations suivantes doivent contenir et peuvent être résolues pour obtenir des expressions pour et: Pour une option d'appel, Portefeuille sera constitué d'une position longue sur le sous-jacent, partiellement financée par des emprunts sur le marché monétaire. Pour une option de vente, il s'agit d'une position vendeur dans le sous-jacent, combinée à un prêt sur le marché monétaire. Pour obtenir la valeur de l 'option au nœud choisi, les expressions pour et sont substituées dans l' expression pour la valeur du portefeuille répliquant au cours de cette période,. La même procédure peut être effectuée sur tous les nœuds une période après l'expiration. Une fois que toutes les valeurs de l'option une période à partir de l'expiration sont déterminées, on peut revenir à travers l'arbre et effectuer la même opération sur tous les nœuds deux périodes avant l'expiration, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le nœud unique représentant la valeur courante de la Est atteint. CITATION PERMANENTE